Andengradspolynomier: egenskaber og faktorisering

NultegradspolynomierLineær, konstant funktion

px=aa?0

FørstegradspolynomierLineær funktion

px=ax+ba?0

Andensgradspolynomier

px=ax2+bx+c

a?0

ax2=2.gradsleddetbx=1.gradsleddetc=konstantleddet

a,b & c kaldes koefficienter

Betydningen af A.

a>0 såfremt parabelbenene vender opad

a<0 såfremt parabelbenene vender nedad.

Hvis a er nummerisk stor, er krummningen stor & parablen er derfor meget smal.Hvis a er nummerisk lille, er krumninngen lille & parablen er derfor meget bred.

Betydningen af B

B angiver hældningen for tangenten i det punkt hvor parablen skærer y-aksen

Betydningen a C

c er parablens skæring med y-aksen. Det vil sige f0=c

Toppunktet

Enten det globale maksimum eller minimum – også der hvor tangentens hældning =0

T(-b2a;-d4a)

Diskriminanten & rødder

d=b2-4ac

Diskriminanten er en størrelse der fortæller hvor mange skæringspuunkter åarablen har med førsteaksen.

For at finde skæringspunkterne (rødderne) skal man aflæse på en graf eller løse (andengrads)ligningenax2+bx+c=0

Hvis d<0 har andengradspolynomiet ingen rødder (andengradsligningen har ingen løsning)

Hvis d=0 har andengradspolynomiet en rod (andengradsligningen har 1 løsning)

x=-b2a

Hvis d>0 har andengradspolynomiet to rødder (andengradsligningen har 2 løsninger)

x=-b+d2a

Faktorisering af andengradspolynomierTing man ganger sammen, er en faktor

Vi kigger på et andengradspolynomium, fx=ax2+bx+c, med diskrimanten d?0 & lader x1 og x2 være rødderne (eventuelt sammenfaldende) i polynomiet.

Da kan polynomiet skrives fx=a?x-x1?(x-x2)Hvis d<0 har andengradspolynomiet ingen rødder & kan derfor ikke faktoriseres.