Det Gyldne Snit, Fibonacci-tal og irrationelle tal

Først kommer vi med en definition på Det gyldne snit og bagefter med beviset.

Definition:

G deler a+b i det gyldne snit hvis

Bevis for at a bliver 0,618:

Da , fås

Hvilket er en andengradsligning

ax2+bx+c

a = 1

b = 1

c = -1

Og vi ved at der til en 2.gradsligning tilhører 2 løsninger

eller

Hvis vi sætter tallene ind i formlen, får vi:

eller

Hvilket giver tallet -/+0,61803……

I dette tilfælde er det 2. løsning vi skal bruge, hvilket vi i normal tale kalder ”Det gyldne snit”.

Man kan også skrive formlen som

Hvad forstås ved irrationelle tal?

For at kunne forstå de irrationale tal, skal man kunne forstå de rationale tal.

Irrationelle tal er tal som ikke er rationelle. Et irrationelt tal kendetegnes ved at det har et uendeligt decimaltal. Et rationelt tal er en brøk som kan skrives med et helt tal i nævneren og et helt tal i tælleren. er et rationelt tal så længe at a og b kan udskiftes med et naturligt tal, altså et helt tal. Et rationelt tal kan både give et helt tal, et endeligt decimaltal, men også et uendeligt decimaltal som kendetegner de irrationelle tal.

Som for eksempel 1/3 = 1,3333... er et rationelt uendeligt decimaltal. Også 5/13 er et rationelt tal med et uendeligt decimaltal, for 5/13 = 0,384615384615... Forskellen på de to uendelige brøker er, at 1/3 har et tal (3) som gentager sig gang på gang, mens 5/13 har en række tal (384615) som gentager sig efter hinanden.