Eksamensopgave i differentialregning og optimering

Eksamensopgave august 2009 opgave 1 + 6a + 6b med hjælpemidler

Opgave 1

f(x) = graf 2

f'x=graf 1

Fordi:

Graf 1 har nulpunkter, der hvor graf 2 har dens ekstremaer

Graf 1 er positiv når graf 2 er stigende, og omvendt er graf 1 negativ når graf 2 er er faldende.

Graf 1 har dens ekstrema, der hvor graf 2 har dens vendetangent.

Opgave 6B

fx=x3-6x2+12x-4

f'x=3x2-12x+12

f''x=6x-12

A

Jeg finder nulpunkter til f’(x) ved at bruge mit CAS-værktøj

solve3x2-12x+12=0,x x=2

Nu bruger jeg mit CAS-værktøj til at udregne en værdi over 2 og en værdi under 2, for at finde ud af om f er voksende

f'1=3

f'3=3

Da begge værdier er positive vil det sige at f’(x) på intet tidspunkt er under 0, og det vil sige at f er voksende.

B

Jeg finder ud af om f har en vendetangent, ved at udregne nulpunkt for f’’(x)

solve6x-12=0,x x=2

Dvs. at x-værdien til vendetangenten er 2

Jeg har brugt mit CAS-værktøj til at udregne f(2) og f’(2)

f2= 4

f'2=0

y=0?x-2+4

y=4

Dvs. at y-værdien til vendetangenten er 4

Altså må f have vendetangent i punktet (2,4)

C

Jeg sætter tangenten til funktionen f lig med den parallelle tangent