Andengradspolynomier: rødder, toppunkt og anvendelse

Løs ligningen \(2x^2 - 4x - 6 = 0\) ved at finde rødderne.

**Løsning:**

Vi bruger den kvadratiske formel, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), hvor \( a = 2 \), \( b = -4 \) og \( c = -6 \).

1. Beregn diskriminanten:

\[

\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64

\]

2. Find rødderne:

\[

x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4}

\]

Dette giver to løsninger:

\[

x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3

\]

\[

x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1

\]

**Svar:** Rødderne er \( x = 3 \) og \( x = -1 \).

### Opgave 2: Find toppunktet af et andengradspolynomium

Find toppunktet (vertex) for parablens graf givet ved \(y = -3x^2 + 12x - 7\).

**Løsning:**

Toppunktet af en parabel \( y = ax^2 + bx + c \) findes ved:

\[

x = -\frac{b}{2a}

\]

Her er \( a = -3 \) og \( b = 12 \).

1. Beregn \( x \)-koordinaten:

\[

x = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = 2

\]

2. Beregn \( y \)-koordinaten ved at indsætte \( x \) i ligningen: